Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)滿足：

①對任意的， ，當(dāng)時，有成立；

②對恒成立.求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值等性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問，對求導(dǎo)，求導(dǎo)后還無法直接判斷的正負，所以再次求導(dǎo)，得到恒大于0，則在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增；第二問，<1>由第一問函數(shù)的單調(diào)性可知， 必異號，不妨設(shè)，先證明一個結(jié)論：當(dāng)時，對任意的有成立，當(dāng)時，對任意的有成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值證明結(jié)論，最后得出結(jié)論，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，有成立；<2>由題意分析只需即可，通過上一步的證明，得到，而在和中取得，作差比較和的大小，從而得到，代入到上式即可.

試題解析：（1），

令，則，

從而在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

故在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知，當(dāng)， 時， 必異號，不妨設(shè)，

我們先證明一個結(jié)論：當(dāng)時，對任意的有成立；

當(dāng)時，對任意的有成立.

事實上， ，

構(gòu)造函數(shù)， ，

，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），又，

當(dāng)時， ，所以在上是單調(diào)遞減， ，此時，對任意的有成立.當(dāng)時， ，所以在上是單調(diào)遞增， ，此時，對任意的有成立；

當(dāng)時， ，由于在上單調(diào)遞減，所以， .同理， .

當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，有成立. 8分

②時，由（1）可得，

又，所以，因此得取值范圍為.

又，

構(gòu)造函數(shù)， ， ，

所以在單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)，即，

所以.

因為， ，

若要題設(shè)中的不等式恒成立，只需成立即可.

構(gòu)造函數(shù)， ， ，

所以在上遞增，又，所以，由，得，

又，所以，因此的取值范圍為.