【題目】已知函數(shù)fx=x2+alnx

1)若a=﹣1,求函數(shù)fx)的極值,并指出極大值還是極小值;

2)若a=1,求函數(shù)fx)在[1,e]上的最值;

3)若a=1,求證:在區(qū)間[1+∞)上,函數(shù)fx)的圖象在gx=x3的圖象下方.

【答案】1)極小值f1=;(2e2+1;(3)證明見解析

【解析】

試題分析:(1)代入a=﹣1,從而化簡(jiǎn)fx)并求其定義域,再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值即可;

2)代入a=1,從而化簡(jiǎn)fx)并求其定義域,再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值;

3)代入a=1,令Fx=gx﹣fx=x3x2﹣lnx,從而化在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)fx)的圖象在gx=x3的圖象下方為Fx)>0[1,+∞)上恒成立,再化為函數(shù)的最值問題即可.

解:(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),fx=x2﹣lnx的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),

f′x=x﹣=;

fx)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),

fx)在x=1處取得極小值f1=;

2)當(dāng)a=1時(shí),fx=x2+lnx的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),

f′x=x+0;

fx)在[1,e]上是增函數(shù),

fminx=f1=,fmaxx=fe=e2+1;

3)證明:令Fx=gx﹣fx=x3x2﹣lnx;

F′x=2x2﹣x﹣=,

∵x∈[1,+∞),

∴F′x=≥0

∴Fx)在[1,+∞)上是增函數(shù),

Fx≥F1==0;

故在區(qū)間[1+∞)上,函數(shù)fx)的圖象在gx=x3的圖象下方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知直線過點(diǎn),圓:,直線與圓交于兩點(diǎn).

) 求直線的方程;

)求直線的斜率的取值范圍;

(Ⅲ)是否存在過點(diǎn)且垂直平分弦的直線?若存在,求直線斜率的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】為研究某種圖書每冊(cè)的成本費(fèi)(元)與印刷數(shù)(千冊(cè))的關(guān)系,收集了一些數(shù)據(jù)并作了初步處理,得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

表中, .

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷: 哪一個(gè)更適宜作為每冊(cè)成本費(fèi)(元)與印刷數(shù)(千冊(cè))的回歸方程類型?(只要求給出判斷,不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01);

(3)若每冊(cè)書定價(jià)為10元,則至少應(yīng)該印刷多少千冊(cè)才能使銷售利潤不低于78840元?(假設(shè)能夠全部售出,結(jié)果精確到1)

(附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

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【題目】已知,在區(qū)間上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得以為邊長的三角形是直角三角形,則的取值范圍是(

A. B.

C. D.

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【題目】汽車的燃油效率是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )

A. 消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米

B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多

C. 甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油

D. 某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

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【題目】知函數(shù) (、為常數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線方程是

(1)、的值

(2)的最大值

(3)設(shè),證明:對(duì)任意,都有.

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【題目】已知一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品700件,該工廠對(duì)這些產(chǎn)品進(jìn)行了安全和環(huán)保這兩個(gè)性能的質(zhì)量檢測(cè)。工廠決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè),現(xiàn)將700件產(chǎn)品按001,002,…,700進(jìn)行編號(hào);

(1)如果從第8行第4列的數(shù)開始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的3件產(chǎn)品的編號(hào);

(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7~9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

(2)抽取的100件產(chǎn)品的安全性能和環(huán)保性能的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下表:

檢測(cè)結(jié)果分為優(yōu)等、合格、不合格三個(gè)等級(jí),橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中,產(chǎn)品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為,求,的值。

件數(shù)

環(huán)保性能

優(yōu)等

合格

不合格

安全性能

優(yōu)等

6

20

5

合格

10

18

6

不合格

4

(3)已知,,求在安全性能不合格的產(chǎn)品中,環(huán)保性能為優(yōu)等的件數(shù)比不合格的件數(shù)少的概率。

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【題目】已知某校6個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?/span>

學(xué)生的編號(hào)

1

2

3

4

5

6

數(shù)學(xué)

89

87

79

81

78

90

物理

79

75

77

73

72

74

(1)若在本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的學(xué)生為理科小能手.從這6個(gè)學(xué)生中抽出2個(gè)學(xué)生,設(shè)表示理科小能手的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)通過大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn),一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,在上述表格是正確的前提下,用表示數(shù)學(xué)成績,用表示物理成績,求的回歸方程.

參考數(shù)據(jù)和公式:,其中,.

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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

1)求a的值,并證明R上的增函數(shù);

2)若關(guān)于t的不等式f(t22t)f(2t2k)0的解集非空,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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