Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)． （Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結論）
（Ⅱ）說明：請在（i）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計分
（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；
（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；
（Ⅲ）求證：當a＞1時，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①對于函數(shù)f（x）=x是Ω函數(shù)，假設存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設不成立，即函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)． ②對于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，則sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數(shù)f（x）=sinπx對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（Ⅱ）（i）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．
（ii）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化為：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，則x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．
（III）證明：當a＞1時，假設函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），
∴Tax+T=ax ， 化為：TaTax=ax ， ∵ax＞0，∴TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的實數(shù)根，因此T≠0且存在，
∴當a＞1時，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．
【解析】（Ⅰ）①利用Ω對于即可判斷出函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（Ⅱ）（i）函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，可得存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），通過換元進而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）同（i）可以證明．（III）當a＞1時，假設函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax ， 化為：TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的實數(shù)根，即可證明．