【題目】已知橢圓 過點(diǎn),且離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(1)(2)或.
【解析】試題分析:(1)由離心率得到a,c,b的關(guān)系,進(jìn)一步把橢圓方程用含有c的代數(shù)式表示,再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求得c,則橢圓方程可求;(2)設(shè)出M,N的坐標(biāo),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由判別式大于0得到,再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.求出MN的垂直平分線l'方程,由P在l'上,得到,再結(jié)合求得k的取值范圍.
試題解析:(1)離心率,∴,即(1)
又橢圓過點(diǎn),則,(1)式代入上式,解得: , ,橢圓方程為
(2)設(shè),弦的中點(diǎn)
由,得: ,
直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
∴,即,(1)
由韋達(dá)定理得: , ,
則, ,
直線的斜率為: ,
由直線和直線垂直可得: ,即,代入(1)式,
可得: ,即,則或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)對(duì)任意的x∈R成立,則稱函數(shù)f(x)是Ω函數(shù). (Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函數(shù);(只需寫出結(jié)論)
(Ⅱ)說明:請(qǐng)?jiān)冢╥)、(ii)問中選擇一問解答即可,兩問都作答的按選擇(i)計(jì)分
(i)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(ii)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是奇函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(Ⅲ)求證:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax一定是Ω函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】證明與分析
(1)已知a,b為正實(shí)數(shù).求證: + ≥a+b;
(2)某題字跡有污損,內(nèi)容是“已知|x|≤1, ,用分析法證明|x+y|≤|1+xy|”.試分析污損部分的文字內(nèi)容是什么?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開始以速度v(t)=t2﹣4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng),求:
(1)在t=4s時(shí)的位置;
(2)在t=4s的運(yùn)動(dòng)路程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)是( )
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為(升).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若 ,求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí),總用氧量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中, 和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, , 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中, , , , , 分別在上, ,現(xiàn)將四邊形沿折起,使.
(1)若,在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(2)求三棱錐的體積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
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