Question

【題目】在平面直角坐標系中， 圓為 的內切圓.其中.

（1）求圓的方程及 點坐標；

（2）在直線 上是否存在異于的定點使得對圓上任意一點，都有為常數 )？若存在，求出點 的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）圓的圓心為，利用點到直線距離公式，求得半徑，得到圓的方程，再由線段、線段均與圓相切，得到點；

（2）假設存在為常數 )，設，幾何關系坐標化，轉化成恒成立問題，進而得到或，分別代入并進行檢驗，得到定點.

（1）由知直線的方程為，

由于圓與線段相切，所以半徑即圓的方程為.

由題意與線段相切，所以線段的方程為，即.

又與線段也相切，所以線段的方程為，即.

故

（2）設，則，，

若在直線上存在異于的定點，使得對圓上任意一點，

都有為常數 )，等價于，

對圓上任意點恒成立.

即

整理得：

因為點在直線上，所以，由于在圓上，所以.

故對任意恒成立，

所以顯然，所以故，

因為，解得：或；

當時，此時重合，舍去.

當時，

綜上，存在滿足條件的定點，此時.