【題目】已知四面體的棱長滿足,,現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中,使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓錐側(cè)面積的最小值為___________.

【答案】

【解析】

若滿足題意,則四面體的外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐即可.先求得四面體外接球的半徑,再根據(jù)該球內(nèi)切于圓錐,即可求得圓錐側(cè)面積的最小值.

若滿足題意,則四面體的外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐即可.

為邏輯清晰,我們將問題主要分為兩步.

第一步:求得四面體外接球半徑.

外心為,過作平面的垂線

記外接球球心為,連接.

則外接球半徑.下面求解.

中,由余弦定理可得,

則由同角三角函數(shù)關(guān)系可得.

外接圓半徑.

的圖形單獨(dú)抽取出來,取中點(diǎn)為.如上面由圖所示:

容易知:.

中,因?yàn)?/span>,

故可得,

.

故可得.

又因?yàn)?/span>,

解得.

中,容易得.

故可得.

中,.

故可得四面體外接球半徑.

第二步:根據(jù)外接球半徑和圓錐的關(guān)系,求得圓錐的母線和底面圓半徑.

若滿足題意,則該外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐,

作出軸截面的平面圖,其中點(diǎn)為的中點(diǎn),如下所示:

該截面圖中.

由題可知為等邊三角形,故可得;

中,,解得.

故可得圓錐的底面圓半徑為.母線長.

故可得圓錐的側(cè)面積為.

故答案為:.

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