Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）證明： ；

（2）根據(jù)（1）證明： .

（B）已知函數(shù)， .

（1）用分析法證明： ；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見(jiàn)解析;（2）詳見(jiàn)解析. （B）（1）詳見(jiàn)解析;（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（A）（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)顯然成立的結(jié)論，由此證得原不等式成立.（2）利用（1）的結(jié)論，將（1）右邊的二次函數(shù)配方，求出其最小值，由此可證得，而，綜上所述， .（B）（1）（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)顯然成立的結(jié)論，由此證得原不等式成立.（2）由于時(shí)，有，所以，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為，由此證得.

試題解析：

（A）解（1）由有，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，因?yàn)?/span>成立，所以成立.

（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

又，

所以由（1）得.

（B）解（1）由有，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，因?yàn)?/span>成立，所以成立.

（2）證法1 由得，

則，

設(shè)， ，

則，

則在上為增函數(shù)，

則，

所以.

證法2 由有，

設(shè)， ，則，設(shè)，

則，

∵，∴，則在時(shí)為增函數(shù)，

又， ，

∴存在，使得，即，

∴時(shí)， 為減函數(shù)， 時(shí)， ， 為增函數(shù)，

由， 有時(shí)， 有最大值0，即成立.

則成立.