Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（2）已知，設(shè)函數(shù).

①證明：函數(shù)在上存在唯一極值點；

②在①的條件下，當(dāng)時，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為；增區(qū)間為；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)的正負(fù)由決定，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)遞增，又，從而逐層回推，得到的單調(diào)性；

（2）①求得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究，即單調(diào)性，利用零點存在定理得到存在，使得，由此得到的單調(diào)性，從而證明結(jié)論；

②先求得，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，從而得到的取值范圍.

解：（1）的定義域為：，

，

設(shè)，則，

當(dāng)時，；，，

所以，單調(diào)遞增，又，

所以上，上

所以，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2）①，

，令，則

令，，

由，，，

所以，在遞減；在遞增.

即：在遞減；在遞增.

又，

所以，存在，使得，

從而有，在遞減；在遞增，在定義域內(nèi)有唯一的零點.

②證明：，

在遞增，，

所以，，

，

設(shè)，，

在遞減，則的取值范圍為：.