Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中動(dòng)圓P與圓外切，與圓內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；

（2）直線l過(guò)點(diǎn)且與動(dòng)圓圓心P的軌跡交于A、B兩點(diǎn).是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為．利用已知條件轉(zhuǎn)化判斷動(dòng)圓圓心P在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，求出然后求解橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為或（舍）．聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式表示的面積，利用換元法和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用即可求出結(jié)果．

（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓的半徑為，

由題意知，，，

.

由橢圓定義可知，動(dòng)圓圓心在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，

，，

∴.所以.

由于圓M內(nèi)切于圓N于點(diǎn)，則.

因此，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.

（2）因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，

若直線的方程為，顯然構(gòu)成不了，故舍去；

故可設(shè)直線的方程為，

則，整理得.

由.

設(shè)點(diǎn)、，

則，.

則

，

因?yàn)?/span>.

設(shè)，則，

則.

設(shè)，

所以在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以.所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.

因此，面積的最大值為.