設函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)當a=時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍;

(3)若對于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范圍.

答案:本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力.

解:(1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).

當a=時,

f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).

令f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2.

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,)

(,2)

2

(2,+∞)

f′(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

極小值

極大值

極小值

所以f(x)在(0,),(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-∞,0),(,2)內(nèi)是減函數(shù).

(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.

為使f(x)僅在x=0處有極值,必須4x2+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a2-64≤0.

解此不等式,得≤a≤.

這時,f(0)=b是唯一極值.

因此滿足條件的a的取值范圍是[,].

(3)由條件a∈[-2,2]可知Δ=9a2-64<0,

從而4x2+3ax+4>0恒成立.

當x<0時,f′(x)<0;當x>0時,f′(x)>0.

因此函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者.

為使對任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,當且僅當在a∈[-2,2]上恒成立.

所以b≤-4,因此滿足條件的b的取值范圍是(-∞,-4].

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x
4
 
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(2)在(1)的條件下,若存在實數(shù)c,使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍; (3)若函數(shù)f(x)只有一個極值點,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,證明:函數(shù)g(x)=f(x)-x2+t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個零點.

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(Ⅰ)若b=-6時,函數(shù)f(x)有極大值,求實數(shù)c的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若存在c,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)只有一個極值點,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,證明:函數(shù)g(x)=f(x)-x2+t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個零點。

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