Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x⁴+bx²+cx+d，當(dāng)x=t₁時(shí)，f(x)有極小值，
(1)若b=-6時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m-2，m+2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (3)若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，證明：函數(shù)g(x)=f(x)-x²+t₁x在區(qū)間(t₁，t₂)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

解：(1)因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111015/201110151056227961181.gif">，
所以h(x)=f′(x)=x³-12x+c，
由題設(shè)，方程h(x)=0有三個(gè)互異的實(shí)根，
考察函數(shù)，則由h′(x)=0，得x=±2，
，
所以故-16＜c＜16．
(2)存在c∈(-16，16)，使f′(x)≥0，即，
所以，即在區(qū)間[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以或m-2＞2，即-2＜m＜0，或m＞4。
(3)由題設(shè)，可得存在α，β∈R，使，
且恒成立，
又f′(t₂)=0，且在x=t₂兩側(cè)同號(hào)，所以，
另一方面，，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111015/20111015105623109943.gif">，且，
所以，
所以，
所以，
而x-t₁＞0，所以g′(x)＜0，
所以g(x)在(t₁，t₂)內(nèi)單調(diào)遞減；
從而g(x)在(t₁，t₂)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)．