設(shè)函數(shù)f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1

(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,求當(dāng)x∈(0,4)時y=g(x)的值域.
分析:(1)f(x)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)化為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期;
(2)根據(jù)f(x)與g(x)關(guān)于直線x=1對稱,得到g(x)=f(2-x),確定出g(x)解析式,根據(jù)x的范圍,利用余弦函數(shù)的值域即可確定出g(x)的值域.
解答:解:(1)f(x)=
3
2
sin
πx
4
-
1
2
cos
πx
4
-cos
πx
4
=
3
2
sin
πx
4
-
3
2
cos
πx
4
=
3
1
2
sin
πx
4
-
3
2
cos
πx
4
)=
3
sin(
πx
4
-
π
3
),
∵ω=
π
4
,∴T=8;
(2)∵函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
∴g(x)=f(2-x)=
3
sin[
π
4
(2-x)-
π
3
]=
3
cos(
πx
4
+
π
3
),
∵x∈(0,4),∴
πx
4
+
π
3
∈(
π
3
,
3
),
∴-1<cos(
πx
4
+
π
3
)<
1
2
,即-
3
3
cos(
πx
4
+
π
3
)<
3
2
,
則y=g(x)的值域?yàn)椋?
3
,
3
2
).
點(diǎn)評:此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,三角函數(shù)的周期性及其求法,以及正弦函數(shù)的對稱性,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
,x∈[0,π]

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)
,給出以下四個論斷:
①它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
對稱;     
②它的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
3
,0)
對稱;
③它的周期是π;                   
④在區(qū)間[0,
π
6
)
上是增函數(shù).
以其中兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題:
條件
①③
①③
結(jié)論
;(用序號表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1
4
x∈(
π
4
,
π
2
)
,求tanx的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)
,則下列結(jié)論正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+2
3
sin2
ωx
2
(ω>0)的最小正周期為
3

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若將y=f(x)的圖象向左平移
π
2
個單位可得y=g(x)的圖象,求不等式g(x)≥2
3
的解集.

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