(2013•哈爾濱一模)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex
( I)若函數(shù)φ(x)=f(x)-
x+1x-1
,求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點A(x0,f (x0))處的切線.證明:在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直線l與曲線y=g(x)相切.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)恒大于0,從而可得求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)先求直線l為函數(shù)的圖象上一點A(x0,f (x0))處的切線方程,再設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),進(jìn)而可得lnx0=
x0+1
x0-1
,再證明在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一即可.
解答:(Ⅰ)解:φ(x)=f(x)-
x+1
x-1
=lnx-
x+1
x-1
,φ′(x)=
1
x
+
2
(x-1)2
=
x2+1
x•(x-1)2
.(2分)
∵x>0且x≠1,∴φ'(x)>0
∴函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)證明:∵f′(x)=
1
x
,∴f′(x0)=
1
x0

∴切線l的方程為y-lnx0=
1
x0
(x-x0)
,
y=
1
x0
x+lnx0-1
,①(6分)
設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),
∵g'(x)=ex,∴ex1=
1
x0
,∴x1=-lnx0.(8分)
∴直線l也為y-
1
x0
=
1
x0
(x+lnx0)
,
y=
1
x0
x+
lnx0
x0
+
1
x0
,②(9分)
由①②得 lnx0-1=
lnx0
x0
+
1
x0

lnx0=
x0+1
x0-1
.(11分)
下證:在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=lnx-
x+1
x-1
在區(qū)間(1,+∞)上遞增.
φ(e)=lne-
e+1
e-1
=
-2
e-1
<0
φ(e2)=lne2-
e2+1
e2-1
=
e2-3
e2-1
>0
,(13分)
結(jié)合零點存在性定理,說明方程φ(x)=0必在區(qū)間(e,e2)上有唯一的根,這個根就是所求的唯一x0
故結(jié)論成立.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查曲線的切線,同時考查零點存在性定理,綜合性比較強(qiáng).
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