Question

（2013•哈爾濱一模）正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為1，此時四面體ABCD外接球表面積為

13

3

π

．

Answer 1

分析：三棱錐B-ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它擴展為正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．

解答：解：根據題意可知三棱錐B-ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它擴展為正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為2，高為

3

，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，表面積為：4πr²．
球心到底面的距離為1，
底面中心到底面三角形的頂點的距離為：

2

3

×

3

2

×1=

3

3

，
所以球的半徑為r=

( 3 3 )2+( 3 2 )2

=

13 12

．
外接球的表面積為：4πr²=

13

3

π
故答案為：

13

3

π．

點評：本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數學題目的前提．