Question

已知實數x，y滿足：e^x+y=x+1．（1）討論函數y=f（x）的單調性；（2）解關于x的不等式．

Answer 1

解：（1）∵實數x，y滿足：e^x+y=x+1，變形，得x+y=ln（x+1），
∴y=ln（x+1）-x，
又∵y=f（x）∴f（x）=ln（x+1）-x，（x＞-1）
則
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0；
當x＞0時，f'（x）＜0
∴f（x）在（-1，0）上單調遞增；在（0，+∞）上單調遞減．
（2）變形為
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴不等式等價于f（）＞f（2）
由（1）知f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調遞減
∴f（）＞f（2）等價于＜2
解得-1＜x＜2
∴不等式解集為 {x|-1＜x＜2}
分析：（1）先根據式子e^x+y=x+1把y用x表示，就可得到函數y=f（x）的解析式，求導數，因為導數大于0，得到的x的范圍是函數的增區(qū)間，導數小于0，得到的x的范圍是函數的減區(qū)間，所以只需判斷在函數定義域中何時導數大于0，何時導數小于0，就可求出函數的單調區(qū)間．
（2）先把要解的不等式變形為，不等號的左右兩邊分別是函數f（x）=ln（x+1）-x當自變量為和2時的函數值，再根據f（x）的單調性就可解出不等式．
點評：本題（1）考察了導數與函數的單調性的關系，導數大于0，函數為增函數，導數小于0，函數為減函數．
（2）考查了利用函數的單調性解不等式，關鍵是把不等式的左右兩邊都化為含函數符號的式子．