Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，f（-1）=-1，且對任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a≠b時，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0；
（1）解不等式f（x-

1

2

）＜f(2x-

1

4

)）；
（2）設(shè)p={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}且P∩Q=∅，求c的取值范圍．
（3）若f（x）≤m²-2km+1對所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,交集及其運算,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）是增函數(shù)，依題意，解不等式組

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

即可求得答案；
（2）依題意，可知p={x|c-1≤x≤c+1}，q={x|c²-1≤x≤c²+1}，利用P∩Q=∅，解不等式c+1＜c²-1①，或c²+1＜c-1②即可；
（3）易求f（x）_max=1，f（x）≤m²-2km+1對所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立?m²-2km≥0對于所有的k∈[-1，1]恒成立，令g（k）=-2mk+m²，則

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
解之即可．

解答： 解．（1）∵定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∴

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解得：-

1

4

＜x≤

5

8

；
（2）∵p={x|y=f（x-c）}，
∴-1≤x-c≤1，即c-1≤x≤c+1，
∴p={x|c-1≤x≤c+1}；
又Q={x|y=f（x-c²）}，
同理可得，q={x|c²-1≤x≤c²+1}；
∵P∩Q=∅，
∴c+1＜c²-1①，或c²+1＜c-1②，
解①得：c＞2或c＜-1；
解②得：x∈∅；
綜上所述，c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，f（-1）=-1，
∴f（x）_max=f（1）=-f（-1）=1，
f（x）≤m²-2km+1對所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立
?1≤m²-2km+1對于所有的k∈[-1，1]恒成立
?m²-2km≥0對于所有的k∈[-1，1]恒成立，
令g（k）=-2mk+m²，
則

g(-1)≥0 g(1)≥0

，即

m2+2m≥0 m2-2m≥0

，解得：m≤-2 或m=0或m≥2．
∴實數(shù)m的取值集合為{m|m≤-2 或m=0或m≥2}．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查集合的交集及其運算，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想、構(gòu)造函數(shù)思想與方程思想的綜合運用，屬于難題．