已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足
b
a
=
3
，
sin(2A+C)
sinA
=2+2cos(A+C)，求f（B）的值．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理
專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=2sin（2x+
π
6
），從而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）依題意，利用兩角和的正弦可求得sinC=2sinA，再由正弦定理得：c=2a，又b=
3
a，利用余弦定理可求得角A、B、C的值，從而可得f（B）的值．
解答： 解：（Ⅰ）解：∵f（x）=
3
sin2x-3sin2x-cos2x+2（sin2x+cos2x）
=
3
sin2x+cos2x-sin2x
=
3
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
π
6
），
∴f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）由條件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
即sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化簡(jiǎn)得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，
又b=
3
a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=3a2+4a2-4
3
a2cosA，
整理得：cosA=
3
2
，A∈（0，π），
∴A=
π
6
，B=
π
3
，C=
π
2
，
∴f（B）=f（
π
3
）=2sin
5π
6
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)（1，0）和直線x=-1距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在底面半徑為3，高為4+2
3
的圓柱形有蓋容器內(nèi)，放入一個(gè)半徑為3的大球后，再放入與球面、圓柱側(cè)面及上底面均相切的小球，則放入小球的個(gè)數(shù)最多為（　　）
A、4B、5C、6D、7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對(duì)任意x＞0，都有f′（x）＞
f(x)
x
．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

記者在街上隨機(jī)抽取10人，在一個(gè)月內(nèi)接到的垃圾短信條數(shù)統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖：
（Ⅰ）計(jì)算樣本的平均數(shù)及方差；
（Ⅱ）現(xiàn)從10人中隨機(jī)抽出2名，設(shè)選出者每月接到的垃圾短信在10條以下的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且點(diǎn)（Sn-1，Sn）（n∈N*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0上（t為與n無(wú)關(guān)的正實(shí)數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列{an}（n∈N*）為等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列{an}的公比為f（t），數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=f（
1
bn-1
）（n∈N*，n≥2），
設(shè)cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）（理）若（1）中無(wú)窮等比數(shù)列{an}（n∈N*）的各項(xiàng)和存在，記S（t）=a1+a2+…+an+…，求函數(shù)S（t）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

2013年12月21日上午10時(shí)，省會(huì)首次啟動(dòng)重污染天氣Ⅱ級(jí)應(yīng)急響應(yīng)，正式實(shí)施機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，當(dāng)天某報(bào)社為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：
年齡（歲） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]
頻數(shù) 5 10 15 10 5 5
贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4
（Ⅰ）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集{a，b，c}
（1）求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率；
（2）記a，b，c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為ξ（如集合{3，4，5}中3和4相鄰，ξ=2），求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，f（-1）=-1，且對(duì)任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a≠b時(shí)，都有
f(a)-f(b)
a-b
＞0；
（1）解不等式f（x-
1
2
）＜f(2x-
1
4
)）；
（2）設(shè)p={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c2）}且P∩Q=∅，求c的取值范圍．
（3）若f（x）≤m2-2km+1對(duì)所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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