Question

（本小題12分）已知（）.
（1）判斷函數的奇偶性，并證明；
（2）若，用單調性定義證明函數在區(qū)間上單調遞減；
（3）是否存在實數，使得的定義域為時，值域為
，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由.

Answer 1

（1）奇函數.（2）函數在區(qū)間上單調遞減.
（3）滿足題目條件的實數存在，實數的取值范圍是.

解析試題分析：（1）根據對數函數的真數大于0建立不等式，解之即可求出函數的定義域，判定是否對稱，然后根據函數奇偶性的定義進行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據單調性的定義進行判定即可；
（3）假設存在實數a滿足題目條件，然后根據函數在區(qū)間[m，n]上單調性建立等式關系，然后轉化成方程x²+（1-a）x+a=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個不同的實根，從而可求出a的取值范圍．
解：（1）由得：或 .
所以，函數的定義域為.
又
為奇函數.
（2）任取，且，則.
因為
所以，又因為，所以，
故,所以，函數在區(qū)間上單調遞減.
（3）假設存在實數滿足題目條件.
由題意得：，又，
又，，.
故，由（2）得：函數在區(qū)間上單減.所以，函數在區(qū)間上單調遞減.
故，，所以，
所以，
是方程的兩個不同的實根.
故，方程在區(qū)間上有兩個不同的實根.
則，解得：.又，
所以，所以，滿足題目條件的實數存在，實數的取值范圍是.
考點：本題主要考查了函數奇偶性的判定，以及單調性的判定和奇偶性與單調性的綜合應用，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．
點評：解決該試題的關鍵是對于方程在某個區(qū)間上方有幾個不同的實數根的問題，常常轉化為分析參數來求解其范圍。