Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若函數(shù)在處的切線垂直于軸，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅲ）實數(shù)的取值范圍為．

【解析】

試題此題考查導(dǎo)數(shù)求解的綜合問題（Ⅰ）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及在切點處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)，求解參數(shù)；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性的方法，第一步，根據(jù)上一問得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將導(dǎo)數(shù)化簡，第二步，求解，和的不等式，就是對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（Ⅲ）處理此類不等式恒成立的問題，有兩種方程，第一種，反解參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，同樣是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定最小值；第二種，轉(zhuǎn)化為求，所以方法就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的極值點的存在問題，確定單調(diào)性，求函數(shù)的最小值大于0.

試題解析：（Ⅰ）．

由題意得，即4分

（Ⅱ）時，，定義域為，

當(dāng)或時，，

當(dāng)時，，

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 8分

（Ⅲ）解法一：由，得在時恒成立，

令，則-10

令，則

所以在為增函數(shù)，．

故，故在為增函數(shù)．，

所以，即實數(shù)的取值范圍為． 12分

解法二：

令，則，

（Ⅰ）當(dāng)，即時，恒成立，

因為，所以在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

（Ⅱ）當(dāng)，即時，恒成立，

因為，所以在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

（Ⅲ）當(dāng)，即或時，

方程有兩個實數(shù)根

若，兩個根，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

則，即，所以；

若，的兩個根，

因為，且在是連續(xù)不斷的函數(shù)

所以總存在，使得，不滿足題意．

綜上，實數(shù)的取值范圍為．