【題目】已知橢圓的中心在原點,對稱軸為坐標軸,橢圓與直線相切于點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線: 與橢圓相交于、兩點(, 不是長軸端點),且以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(1) ;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:(1)利用點在橢圓上及相切關(guān)系布列方程組,即可解得橢圓的標準方程;
(2)聯(lián)立方程易得: , ,以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點,∴,即或,經(jīng)檢驗得到結(jié)果.
試題解析:
法一(Ⅰ)由題意設(shè)橢圓的標準方程為(, 且)
∵在橢圓上,∴ ①
由得
∵橢圓與直線相切,∴,
即②
由①②知,
故所求橢圓方程為
法二:設(shè)橢圓為(, 且)則它在點處的切線為,它與表示同一直線,∴, ,∴,
故所求橢圓方程為.
(Ⅱ)設(shè), ,聯(lián)立
得
得
,
,
因為以為直徑的圓過橢圓的上頂點
∴即
∴
即
即
即
∴或
當時,直線過定點與已知矛盾
當時,直線過定點滿足
所以,直線過定點,定點坐標為
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【題目】已知函數(shù)。
(1)若函數(shù)在處的切線垂直于軸,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為2, E、F、G分別為BC、CC1、BB1的中點,則( )
A.直線與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行
C.平面截正方體所得的截面面積為D.點C與點G到平面AEF的距離相等
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的方程為,直線與曲線交于兩點.
(1)求直線的標準參數(shù)方程;
(2)求的長;
(3)以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)點的極坐標為;求點到線段中點的距離.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍,縱坐標坐標都伸長為原來的倍,得到曲線,在極坐標系(與直角坐標系取相同的單位長度,且以原點為極點,以軸非負半軸為極軸)中,直線的極坐標方程為.
(1)求直線和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù),
(1)若函數(shù)的圖像上有與軸平行的切線,求參數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在處取得極值,且時,恒成立,求參數(shù)的取值范圍.
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【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司計劃在2010年向某企業(yè)投入800萬元用于開發(fā)新產(chǎn)品,并在今后若干年內(nèi),每年的投入資金都比上一年減少20%.估計2010年可獲得投資回報收入400萬元,由于該項投資前景廣闊,預(yù)計今后的投資回報收入每年都會比上一年增加25%.
(Ⅰ)設(shè)第年(2010年為第一年)的投入資金為萬元,投資回報收入為萬元,求和的表達式;
(Ⅱ)從哪一年開始,該投資公司前幾年的投資回報總收入將超過總投入?
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