【題目】已知在數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,若an>0,且4Sn=an2+2an+1(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比q>1,b1=a1,且2b2,b4,3b3成等差數(shù)列.
(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,若{cn}的前項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<6.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)得遞推關(guān)系,化簡得 ,根據(jù)等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式得 ,由待定系數(shù)法求數(shù)列{bn}公比為2,再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn=2n-1(2)利用錯(cuò)位相減法求和 ,再證結(jié)論;利用錯(cuò)位相減法求和時(shí),注意相減時(shí)項(xiàng)的符號變化,中間部分利用等比數(shù)列求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù),最后要除以
試題解析:解:(1)由4Sn=an2+2an+1(n∈N*),n=1時(shí),4a1=+2a1+1,解得a1=1.
n≥2時(shí),4Sn-1=+2an-1+1,相減可得:4an=-,化為:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又an>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為2. ∴an=1+2(n-1)=2n-1.
b1=a1=1,∵2b2,b4,3b3成等差數(shù)列.
∴2b4=2b2+3b3.∴=2b2+3b2q,化為:2q2-3q-2=0,q>1,解得q=2.
∴bn=2n-1.
(2)證明:cn==.
{cn}的前項(xiàng)和為Tn=1++…+, Tn=+…++,
∴Tn=1+2-=1+2×-,
∴Tn=6-<6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正四面體的頂點(diǎn)、、分別在兩兩垂直的三條射線, , 上,則在下列命題中,錯(cuò)誤的是( )
A. 是正三棱錐
B. 直線與平面相交
C. 直線與平面所成的角的正弦值為
D. 異面直線和所成角是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線.
(1)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.
(2)若是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,探究:直線是否過定點(diǎn);
(3)若為圓的兩條相互垂直的弦,垂足為,求四邊形的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式.
(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對稱中心為,求θ的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是棱長為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B-EFC的體積;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中,注意力指數(shù)與聽課時(shí)間(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)時(shí),曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)時(shí),曲線是函數(shù)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)大于80時(shí)學(xué)習(xí)效果最佳.
(1)試求的函數(shù)關(guān)系式;
(2)教師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容,能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是銳角三角形,cos22A+sin2A=1.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若BC=1,B=x,求△ABC的周長f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對滿足的一切的值,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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