Question

【題目】線(xiàn)段AB為圓的一條直徑，其端點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn) 上，且A，B兩點(diǎn)到拋物線(xiàn)C焦點(diǎn)的距離之和為11.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程及直徑AB所在的直線(xiàn)方程；

（2）過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)C在P，Q處的切線(xiàn)相交于N點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用拋物線(xiàn)的定義可求出，再利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)的斜率，結(jié)合直線(xiàn)過(guò)圓心，利用點(diǎn)斜式即可求出直線(xiàn)的方程：

（2）不妨設(shè)，，，，，，直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線(xiàn)在，的切線(xiàn)方程，把點(diǎn)，代入切線(xiàn)的方程得，同理可得：，故， 為一元二次方程的兩根，再次利用韋達(dá)定理得，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，故當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，最小值為27.

解：（1）設(shè)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，

則，

又，

拋物線(xiàn)C的方程為：，

由，兩式相減得：，

直線(xiàn)AB的斜率為﹣1，

圓M方程：化為坐標(biāo)方程為：

，

直線(xiàn)AB過(guò)圓心，

直線(xiàn)AB的方程為：，即；

（2）不妨設(shè)，

直線(xiàn)l的方程為，

聯(lián)立方程，消去y得：，

，

，

拋物線(xiàn)C的方程為，

，

拋物線(xiàn)C在的切線(xiàn)方程為：，

又點(diǎn)在切線(xiàn)PN上，

則，即，

同理可得：，

故為一元二次方程的兩根，

，又，

，

點(diǎn)N到直線(xiàn)PQ的距離

，

，

當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，最小值為27，

面積的取值范圍為：.