已知二次函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且關于x的不等式f(x)<4x的解集為{x|1<x<3}.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設F(x)=f(x)+bx,且當x∈[-1,2]時,函數(shù)F(x)的最小值為1,求實數(shù)b的值.
(I)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(x)是偶函數(shù)知f(x)的圖象關于y軸對稱,
-
b
2a
=0
,即b=0,故f(x)=ax2+c.…(1分)
∵不等式f(x)<4x的解集為{x|1<x<3},
∴a>0且x1=1,x2=3是方程f(x)-4x=0即ax2-4x+c=0的兩根.
由韋達定理,得
1+3=
4
a
1×3=
c
a
,
解得:a=1,c=3.…(5分)
∴f(x)=x2+3.…(6分)
(II)由( I)知,F(x)=x2+bx+3=(x+
b
2
)2+3-
b2
4
,對稱軸x=-
b
2
.…(7分)
下面分類討論:
①當-
b
2
≥2
,即b≤-4時,F(xiàn)(x)在[-1,2]上為減函數(shù),
∴F(x)min=F(2)=2b+7=1,得b=-3(舍去).…(9分)
②當-
b
2
∈(-1,2)
,即-4<b<2時,F(x)min=F(-
b
2
)=-
b2
4
+3=1

b=-2
2
b=2
2
(舍去).…(11分)
③當-
b
2
≤-1
,即b≥2時,F(xiàn)(x)在[-1,2]上為增函數(shù),
∴F(x)min=F(-1)=4-b=1,得b=3.…(13分)
綜上所述,b=-2
2
或b=3為所求.…(14分)
練習冊系列答案
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A.a>
2
3
B.
1
2
<a<
3
2
C.a>
1
2
D.a<
1
2

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