【題目】已知,設(shè)函數(shù).
(1)討論單調(diào)性;
(2)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)的不同取值,進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),,且時(shí),,于是等價(jià)于,顯然若,時(shí),不等式不成立;當(dāng)若,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo),得,函數(shù)在單調(diào)遞增,所以,可以證明出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),可以通過找到零點(diǎn),證明出不恒大于零.
解:(1).
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),由得或,因?yàn)?/span>,所以當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在,單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時(shí),,且時(shí),,于是等價(jià)于.
若,當(dāng)時(shí),不成立.
若,設(shè),.
函數(shù)在單調(diào)遞增,所以.
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,,所以存在唯一,使得當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,,不成立.
綜上,的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局(如北京道路幾乎都是東西和南北走向).在這樣的城市中,我們說的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離(位移),而是實(shí)際路程(如圖).在直角坐標(biāo)平面內(nèi),我們定義,兩點(diǎn)間的“直角距離”為:.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中,寫出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo).(格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))
(2)求到兩定點(diǎn)、的“直角距離”和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡.(在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)做答)
①,,;
②,,;
③,,.
(3)寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo),并說明理由(格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).
①到,兩點(diǎn)“直角距離”相等;
②到,兩點(diǎn)“直角距離”和最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是圓:上任意一點(diǎn),,線段的垂直平分線與半徑交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)記曲線與軸交于兩點(diǎn),是直線上任意一點(diǎn),直線,與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為,求證:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的方程為,集合,若對于任意的,都存在,使得成立,則稱曲線為曲線,下列方程所表示的曲線中,是曲線的有______(寫出所有曲線的序號(hào))
①;②;③;④;⑤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在時(shí)取得極值,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報(bào)父母恩”的活動(dòng),對六個(gè)年級(一年級到六年級的年級代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),繪制得到下面的散點(diǎn)圖.
(1)由散點(diǎn)圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計(jì)該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為= ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形,使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)的圖像上.若用表示第k個(gè)矩形的面積,表示這n個(gè)叫矩形的面積總和.
(1)求的表達(dá)式;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明,并求出的表達(dá)式
(3)求的值,并說明的幾何意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,其中,點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),射線:與橢圓的交點(diǎn)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)橢圓的長半軸、短半軸的長分別為、,當(dāng)的值在區(qū)間中變化時(shí),求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,以為焦點(diǎn),為頂點(diǎn)且開口方向向左的拋物線過點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于點(diǎn),若函數(shù)滿足:,都有,就稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”.以下函數(shù):①,②,③,④,其中是原點(diǎn)的“限定函數(shù)”的序號(hào)是______.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,若函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”,則的取值范圍是______.
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