Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點坐標為別為，，離心率是． 橢圓的左、右頂點分別記為，．點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）求線段長度的最小值．

（Ⅲ）當線段的長度最小時，在橢圓上的點滿足：的面積為．試確定點的個數．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）2

【解析】分析：（1）先根據焦點坐標得，再根據離心率得a，解得b,（2）設直線的方程為，解得S，得直線的方程，與直線聯(lián)立解得M,N坐標，即得，最后根據基本不等式求最值，（3）當線段的長度最小時，求出S，由的面積得點到直線的距離等于，與點T在橢圓上，聯(lián)立方程組，根據解的個數確定點的個數．

詳解：解：（Ⅰ）∵，且，

∴，，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知橢圓的左、右頂點坐標為，，直線的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，

從而．

由得．

設，則，得，

從而，即．

又，故直線的方程為，

由得，

∴，故，

當且僅當，即時等號成立．

故當時，線段的長度取最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當線段的長度最小值時，，

此時的方程為，，

∴，

要使的面積為，只需點到直線的距離等于，

所以點在平行于且與距離等于的直線上．

設，則由，解得或．

①當時，由得，

∵，故直線與橢圓有兩個不同交點．

②當時，由得，

∵，故直線與橢圓沒有交點．

綜上所述，點的個數為．