Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求證：當a=﹣1時，不等式lnf（x）＞1成立；
（Ⅱ）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：當a=﹣1時，
，
故f（x）的最小值為3，
則lnf（x）的最小值為ln3＞lne=1，
所以lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由絕對值不等式可得：
f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|≥|（x﹣2）﹣（x﹣a）|=|a﹣2|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，
可得|a﹣2|≥a，解得a≤1，
故a的最大值為1．
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到f（x）的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，從而證出結論即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．