Question

（2012•西城區(qū)一模）如圖，已知拋物線y²=x及兩點A₁（0，y₁）和A₂（0，y₂），其中y₁＞y₂＞0．過A₁，A₂分別作y軸的垂線，交拋物線于B₁，B₂兩點，直線B₁B₂與y軸交于點A₃（0，y₃），此時就稱A₁，A₂確定了A₃．依此類推，可由A₂，A₃確定A₄，…．記A_n（0，y_n），n=1，2，3，…．
給出下列三個結論：
①數列{y_n}是遞減數列；
②對?n∈N^*，y_n＞0；
③若y₁=4，y₂=3，則y5=

2

3

．
其中，所有正確結論的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：先確定直線B_n-1B_n-2的方程，求得yn=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

，由此即可得到結論．

解答：解：由題意，B_n-1（yn-12，yn-1），B_n-2（yn-22，yn-2），則直線B_n-1B_n-2的方程為y-yn-1=

1

yn-2+yn-1

(x-yn-12)
令x=0，則y-yn-1=

1

yn-2+yn-1

×(-yn-12)，∴y=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

∴yn=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

∴

1

yn

=

1

yn-1

+

1

yn-2

∵y₁＞y₂＞0，∴y_n＞0，故②正確；

1

yn

-

1

yn-1

=

1

yn-2

＞0，∴y_n＜y_n-1，故①正確；
若y₁=4，y₂=3，則y3=

12

7

，y₄=

12

11

，y5=

2

3

，故③正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．