Question

已知點(diǎn)P（x，y）滿足條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，點(diǎn)A（2，1），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值為（　　）

• A、

  4

  5

  5

• B、

  7

  5

  5

• C、

  9

  5

  5

• D、

  5

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積將|

OP

|•cos∠AOP轉(zhuǎn)化成

2x+y

5

，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，從而得到|

OP

|•cos∠AOP的最大值即可．

解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
所以|

OP

|•cos∠AOP=

2x+y

5

，
令z=2x+y，則y=-2x+z，即z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)B（2，1）時(shí)，z取到最大值，
這時(shí)z=5，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

5

5

=

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于

5

5

=

5

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問(wèn)題的介入是線性規(guī)劃問(wèn)題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問(wèn)題得以深化．