Question

【題目】已知函數(shù)是有如下性質：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）如果函數(shù)的值域為，求b的值；

（2）研究函數(shù)（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值．（可利用你的研究結論）

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案不唯一，詳見解析；理由見解析；（3）單調(diào)性見解析，最大值；最小值．

【解析】

（1）根據(jù)已知函數(shù)的性質，即可求出最小值且為6，建立的方程，求解即可；

（2）函數(shù)為偶函數(shù)，先研究在的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性的定義可得出結論，再利用偶函數(shù)的對稱性，得出在的單調(diào)性；

（3）把函數(shù)推廣為（常數(shù)），其中n是正整數(shù)，結合對勾函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，再對的奇偶數(shù)，函數(shù)的奇偶性的分類討論，利用對稱關系，得到上的單調(diào)區(qū)間.將用二項展開式定理展開，按兩項積為定值分組，利用單調(diào)性，即可求出最值.

（1）函數(shù)的最小值是，

則，∴．

（2）設，

．

當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當時，，函數(shù)在上是減函數(shù)．

又是偶函數(shù)，于是，該函數(shù)在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)．

（3）可以把函數(shù)推廣為（常數(shù)），其中n是正整數(shù)．

當n是奇數(shù)時，，函數(shù)為奇函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

當n是偶數(shù)時，函數(shù)是偶函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

．

因此，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

所以，當或時，取得最大值；

當時，取得最小值．