Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）存在，線(xiàn)段的長(zhǎng).

【解析】

（Ⅰ）在四邊形中,可以證明出，以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以證明出；

（Ⅱ）求出平面的法向量、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求出向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出二面角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)存在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得，設(shè)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用與平面的法向量垂直，可以求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線(xiàn)段的長(zhǎng).

（Ⅰ）在四邊形中，，，，根據(jù)勾股定理，可求出,利用勾股定理的逆定理可知：，以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以，因?yàn)?/span>，

所以，因此可求出坐標(biāo)為,

因?yàn)?/span>,所以;

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為,,

，

設(shè)平面的法向量為,

，

設(shè)的夾角為，；

（Ⅲ）設(shè)存在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得，

,設(shè)平面的法向量為,

,

,

因?yàn)?/span>,所以,

.