【題目】已知是圓上的一個動點,過點作兩條直線,它們與橢圓都只有一個公共點,且分別交圓于點.
(Ⅰ)若,求直線的方程;
(Ⅱ)①求證:對于圓上的任意點,都有成立;
②求面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)①證明見解析;②.
【解析】
(Ⅰ)設出直線方程,代入橢圓方程,利用直線與橢圓都只有一個公共點,求出直線的斜率,即可求直線的方程;(Ⅱ)①分類討論,斜率不存在時成立,斜率存在時,利用判別式等于零可得關于的一元二次方程,由韋達定理可得成立,即可證得結論;②記原點到直線的距離分別為,可得,設面積為,可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.
(Ⅰ)設直線的方程為,
代入橢圓,消去,
可得,
由,可得,
設的斜率分別為,
直線的方程分別為;
(Ⅱ)①證明:當直線的斜率有一條不存在時,不妨設無斜率
與橢圓只有一個公共點,所以其方程為,
當的方程為時,此時與圓的交點坐標為,
的方程為(或,成立,
同理可證,當的方程為時,結論成立;
當直線的斜率都存在時,設點且,
設方程為,代入橢圓方程,
可得,
由化簡整理得,
,,
設的斜率分別為,
成立,
綜上,對于圓上的任意點,都有成立;
②記原點到直線的距離分別為,
因為,所以是圓的直徑,
所以,
面積為,,
,
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件,記生產(chǎn)的零件的尺寸為,相關行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定:若,則該零件為優(yōu)等品;若,則該零件為中等品;其余零件為次品.現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件,經(jīng)質(zhì)里檢測得到下表數(shù)據(jù):
尺寸 | ||||||
甲機床零件頻數(shù) | 2 | 3 | 20 | 20 | 4 | 1 |
乙機床零件頻數(shù) | 3 | 5 | 17 | 13 | 8 | 4 |
(Ⅰ)設生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為:優(yōu)等品3元,中等品1元,次品虧本1元.若將頻率視為概率,試估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望;
(Ⅱ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此數(shù)據(jù)回答:是否有的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”?
甲機床 | 乙機床 | 合計 | |
優(yōu)等品 | |||
非優(yōu)等品 | |||
合計 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=alnx-bx2(x>0),若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切。
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為,以橢圓的上頂點為圓心作圓,
,圓與橢圓在第一象限交于點,在第二象限交于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求出此時圓的方程;
(3)設點是橢圓上異于的一點,且直線分別與軸交于點為坐標原點,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,左頂點為
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于(不同于點的)兩點.試判斷直線與軸的交點是否為定點,若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚民族古典文化,市電視臺舉行古詩詞知識競賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確將給該選手記正10分,否則記負10分.根據(jù)以往統(tǒng)計,某參賽選手能答對每一個問題的概率均為;現(xiàn)記“該選手在回答完個問題后的總得分為”.
(1)求且()的概率;
(2)記,求的分布列,并計算數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(卷號)2209028400021504
(題號)2209073114537984
(題文)
已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)對于曲線上的不同兩點、,如果存在曲線上的點,且,使得曲線在點處的切線,則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地,當時,又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問:在函數(shù)的圖象上是否存在兩點、,使得直線存在“中值伴隨切線”?若存在,求出、的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,,點在線段上,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得,若存在,求出線段的長,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)若,過原點分別作曲線的切線、,且兩切線的斜率互為倒數(shù),求證:.
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