【題目】已知直線與橢圓:交于兩點(diǎn).

（1）若線段的中點(diǎn)為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得始終為定值?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】（1） （2）存在，,定值為.

【解析】

（1）設(shè),代入橢圓得根據(jù)點(diǎn)差法,即可求得答案;

（2）設(shè),當(dāng)直線與軸重合時(shí),有;當(dāng)直線與軸垂直時(shí),由,解得,結(jié)合已知,即可求得答案.

（1）設(shè),

代入橢圓得

兩式相減得:,

,

線段的中點(diǎn)為

,,

直線的斜率為:

直線的方程為:,

即:

（2）設(shè),當(dāng)直線與軸重合時(shí),

有;

當(dāng)直線與軸垂直時(shí),

由,

解得

存在點(diǎn),則,,

根據(jù)對(duì)稱性,只考慮直線過點(diǎn),

設(shè),

設(shè)直線的方程為,

由,消掉,

可得:,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:,

,

同理,

,

綜上所述,存在點(diǎn)M(,0),使得為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切。

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（卷號(hào)）2209028400021504

（題號(hào)）2209073114537984

（題文）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)、，如果存在曲線上的點(diǎn)，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當(dāng)時(shí)，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在線段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線，點(diǎn) 在拋物線上，過焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn),且兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為兩點(diǎn),則三角形的面__________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，皆滿足（實(shí)常數(shù)）．在等差數(shù)（））中，，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）試判斷數(shù)列能否成等比數(shù)列，并說明理由；

（3）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并計(jì)算：（已知）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）若，過原點(diǎn)分別作曲線的切線、，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

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