Question

【題目】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，若為拋物線(xiàn)上第一象限的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；

（Ⅱ）若點(diǎn)滿(mǎn)足，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，由此可得直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得到直線(xiàn)的斜率，由此得到的方程為，令可得點(diǎn)的坐標(biāo)，于是可得直線(xiàn)的斜率．然后再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在點(diǎn)A處的切線(xiàn)的斜率，比較后可得結(jié)論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（Ⅰ）由題意得焦點(diǎn)．設(shè)，

∴直線(xiàn)的斜率為，

由已知直線(xiàn)斜率存在，且直線(xiàn)的方程為，

令，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴直線(xiàn)的斜率為．

由得，

∴，即拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)的斜率為，

∴直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線(xiàn)的方程為，

由 消去整理得，

設(shè)，

則．

由題意得直線(xiàn)的斜率為 ，

直線(xiàn)的斜率為，

∵ ，

∴，

∴，

∴ ，

整理得，

解得或．

∵ ，

∴，

又，且，

∴存在，使得．