如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
1
2
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．
（1）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥PD，
∵PA=AD=2，F(xiàn)是PD的中點，
∴PD⊥AF，
∵EF∩AF=F，
∴PD⊥平面ABEF；
（3）由（2）知，P到平面ABEF的距離為
2
，∴M到平面ABEF的距離為
2
2
，
又MF=1，EF=2，∴ME=
5
，
∴直線ME與平面ABEF所成角的正弦值為
2
2
5
=
10
10
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．
（1）求證：SA⊥CD；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（　�。�
A．
2
2
B．
15
5
C．
6
4
D．
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C1O∥面A1B1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1；
（3）求直線AC與平面AB1D1所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1直線AD1與平面A1C1的夾角為（　　）
A．30°B．45°C．90°D．60°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1上的點、F為DB的中點．
（Ⅰ）求直線B1F與平面CDD1C1所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直線EF∥平面ABC1D1，試確定點E的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為
3
3
，M是AC的中點，則EM，DE所成角的余弦值等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，四面體A-BCD的四個面全等，且AB=AC=2
3
，BC=4，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為（　　）
A．arccos
1
3
B．arccos
3
3
C．
π
2
D．
2π
3

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