已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C1O∥面A1B1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1；
（3）求直線AC與平面AB1D1所成角的正切值．
證明：（1）連接A1C1，設A1C1∩B1D1=O1，
連接AO1，∵ABCD-A1B1C1D是正方體
∴A1ACC1是平行四邊形
∴A1C1∥AC且A1C1=AC（2分）
又∵O1，O分別是A1C1，AC的中點，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO
∴O1C1OA是平行四邊形
∴C1O∥AO1，AO1?平面A1B1D1，C1O?平面A1B1D1，
∴C1O∥面A1B1D1；

（2）∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥平面A1C1C
即B1D1⊥A1C，
同理可證AB1⊥A1C，
又B1D1∩AB1=B1，
∴A1C⊥面AB1D1；
（3）直線AC與平面AB1D1所成的角實際上
就是正四面體ACB1D1的一條棱與一個面所成的角，
余弦值為
3
3
，從而正切值為
2
．（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB和CD的中點，AD=BC=6，MN=3
2
，則AD和BC所成的角是（　　）
A．120°B．90°C．60°D．30°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知，如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，且PG=4，AG=
1
3
GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）求DG與平面PBG所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四面體ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求直線CA與平面ABD所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
1
2
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=a，AA1=
2
a，求AB1與側面AC1所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=
6
，
E為PC的中點．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的長；若不存在，請說明理由．

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