如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為
3
3
，M是AC的中點(diǎn)，則EM，DE所成角的余弦值等于______．
連結(jié)CD、CE，取AB的中點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影為O，連結(jié)CO、OH、CH
∵CH是等邊三角形ABC的中線，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE內(nèi)的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
設(shè)AB=2，則等邊△ABC中，CH=
3
2
AB=
3

Rt△COH中，cos∠OHC=
OH
CH
=
3
3
，可得OH=
3
3
CH=1，
由此可得點(diǎn)O是正方開ABDE的中心，可得四棱錐C-ABDE是所有棱長均為2的正四棱錐
等邊△ACE中，
EM
=
1
2
（
EA
+
EC
）且|
EM
|=
3

∴
ED
•
EM
=
1
2
ED
•（
EA
+
EC
）=
1
2
ED
•
EA
+
1
2
ED
•
EC

∵∠DEA=90°，得
ED
•
EA
=0；∠DEC=60°，得
ED
•
EC
=|
ED
|•|
EC
|cos60°=2
∴
ED
•
EM
=
1
2
×0+
1
2
×2=1
可得cos＜
ED
，
EM
＞=
ED
•
EM
|
ED
|•|
EM
|
=
1
2×
3
=
3
6

由此結(jié)合兩條直線所成角的定義，可得直線EM、DE所成角的余弦值等于
3
6
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正四面體ABCD的棱長為a，點(diǎn)O是△BCD的中心，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A到面BCD的距離；
（2）求AB與面BCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
1
2
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=
π
3
，AB=CC1=2．
（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）設(shè)E是CC1的中點(diǎn)，求AE和平面ABC1所成角正弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一點(diǎn)F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）當(dāng)四棱錐A'-BCDE體積取最大值時(shí)，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2
3
，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判斷在線段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點(diǎn)Q，并求
AQ
QC
的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=
3
AD，
（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大�。�

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