Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是圓內(nèi)接四邊形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，且在線段上運(yùn)動(dòng)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，通過證明、證得平面，由此證得.證得，從而證得平面，進(jìn)而證得平面平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過直線的方向向量和平面平面而的法向量求得直線與平面所成角的正弦值

（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，

∵，，，∴，

易得，∴，∴.

又，，平面，

∴平面，又平面，∴.

又底面是圓內(nèi)接四邊形，∴，

在中，由，，可得，，

∴，，易得，∴，

即.又平面，，

∴平面，又平面，∴平面平面.

（2）解：點(diǎn)在線段上.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，

設(shè)，可得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.

故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.