【題目】已知長方形ABCD中,AB3,AD4.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使ACa,得到一個四面體ABCD,如圖所示.

(1)試問:在折疊的過程中,直線ABCD能否垂直?若能,求出相應(yīng)a的值;若不能,請說明理由;

(2)求四面體ABCD體積的最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】
試題分析:(1)假設(shè),又,則平面,得到,解得;(2)易知,翻折到平面平面時,體積最大,則底面為,高為,求得最大體積為。

(1)直線ABCD能夠垂直.

因為ABAD,若ABCDADCDD,

則有AB⊥平面ACD,

從而ABAC.

此時,a,

即當(dāng)a時,有ABCD.

(2)由于△BCD面積為定值,所以當(dāng)點A到平面BCD的距離最大,即當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時,該四面體的體積最大,

此時,過點A在平面ABD內(nèi)作AHBD,垂足為H

則有AH⊥平面BCD,AH就是該四面體的高.

在△ABD中,AH,

SBCD×3×46,

此時VABCDSBCD·AH,即為該四面體體積的最大值.

練習(xí)冊系列答案
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支持

不支持

合計

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80

年齡大于50歲

10

合計

70

100

(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;

(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運無關(guān)?

(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性,其中2位是女教師,現(xiàn)從這5名女性中隨機抽取3人,求至多有1位教師的概率.

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