【題目】【2016高考江蘇卷】已知函數(shù).設(shè).

(1)求方程的根;

(2)若對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;

(3)若,函數(shù)有且只有1個零點(diǎn),求的值。

【答案】(1)0 4(2)1

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程,求方程根根據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系,將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式,再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值,即的最小值,最后根據(jù)基本不等式求最值(2)先分析導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況:唯一零點(diǎn),再確定原函數(shù)單調(diào)變化趨勢:先減后增,從而結(jié)合圖像確定唯一零點(diǎn)必在極值點(diǎn)取得,而,因此極值點(diǎn)必等于零,進(jìn)而求出的值.本題難點(diǎn)在證明,這可利用反證法:若,則可尋找出一個區(qū)間,由結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)存在另一零點(diǎn),與題意矛盾,其中可取;若,同理可得.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>,所以.

方程,即,亦即,

所以,于是,解得.

由條件知.

因?yàn)?/span>對于恒成立,且,

所以對于恒成立.

,且,

所以,故實(shí)數(shù)的最大值為4.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)只有1個零點(diǎn),而,

所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn).

因?yàn)?/span>,又由

所以有唯一解.

,則,

從而對任意,所以上的單調(diào)增函數(shù),

于是當(dāng),;當(dāng)時(shí),.

因而函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù).

下證.

,則,于是,

,且函數(shù)在以為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷,所以在之間存在的零點(diǎn),記為. 因?yàn)?/span>,所以,又,所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)矛盾.

,同理可得,在之間存在的非0的零點(diǎn),矛盾.

因此,.

于是,故,所以.

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2)設(shè)點(diǎn)三邊的距離均相等.

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