如圖(1)在直角梯形PDCB中,PD∥CB,CD⊥PD,PD=6,BC=3,DC=
6
,A是線段PD的中點,E是線段AB的中點;如圖(2),沿AB把平面PAB折起,使二面角P-CD-B成45°角.
(1)求證PA⊥平面ABCD;
(2)求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大。
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分析:(1)由已知中,直角梯形PDCB中,PD∥CB,CD⊥PD,PD=6,BC=3,DC=
6
,A是線段PD的中點,E是線段AB的中點,可得AB⊥PA,AB⊥AD,由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD,進而DC⊥平面PAD,故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,根據(jù)已知中二面角P-CD-B成45°角,可得PA⊥AD,結(jié)合PA⊥AB及線面垂直的判定定理,可得PA⊥平面ABCD.
(2)以A為坐標原點,AB,AD,AP分別為X,Y,Z軸正方向建立空間坐標系,分析求出平面PEC和平面PAD的法向量,代入向量坐標公式,即可求出答案.
解答:證明:(1)∵AB⊥PA,AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD(2分)
∵AB∥DC∴DC⊥平面PAD,
DC⊥PD,DC⊥AD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,故∠PDA=45°(4分)
∵PA=AD=3,∠PDA=45°,∴PA⊥AD
又∵PA⊥AB,∴PA⊥平面ABCD(6分)精英家教網(wǎng)
解:(2)如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(
6
,0,0),C(
6
,3,0),
D(0,3,0),P(0,0,3),E(
6
2
,0,0)(8分)
由(1)知
AB
=(
6
,0,0)是平面PAD的法向量,
設(shè)平面PEC的法向量為
n
=(x,y,z),
PE
-
n
=0
PC
-
n
=0
,得
(
6
2
,0,-3)-(x,y,z)=0
(
6
2
,0,-3)- (x,y,z)=0
(10分)
x=
6
z
6
x+3y-3z=0
,
令z=1得
n
=(
6
,-1,1),(12分)
設(shè)向量
AB
n
所成的角為θ,
則:cosθ=
AB
-
n
|
AB
|-|
n
|
=
(
6
,0,0)?(
6
,-1,1)
6
×2
2
=
3
2

∴向量
AB
n
所成的角為30°,(13分)
故平面PEC和平面PAD所成的二面角為30°.(14分)
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,其中(1)的關(guān)鍵是空間中線線垂直,線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化,(2)的關(guān)鍵是建立空間坐標系,將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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12
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(1)求證平面BDE⊥平面BEC  
(2)求直線BD與平面BEF所成角的正弦值。

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