Question

設(shè)直線l的方程是2x+By-1=0，傾斜角為α．
（1）試將α表示為B的函數(shù)；
（2）若＜α＜，試求B的取值范圍；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要將α表示為B的函數(shù)，我們可以利用反正切函數(shù)來處理，注意到反正切函數(shù)的值域?yàn)椋?，），而直線傾斜角的范圍為[0，π），故我們要將B的值進(jìn)行分類討論，分別寫出幾中情況下函數(shù)的解析式，最后寫成分段函數(shù)的形式．
（2）由（1）的結(jié)論將＜α＜代入分段函數(shù)的解析式，易求B的取值范圍
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），我們可以根據(jù)直線斜率與直線方程中A，B的關(guān)系，分析出斜率的取值范圍，進(jìn)一步線出α的取值范圍．
解答：解：（1）若B=0，則直線l的方程是2x-1=0，∴α=；
若B≠0，則方程即為y=-x+，
∴當(dāng)B＜0時(shí)，-＞0，α=arctan（），
當(dāng)B＞0時(shí)，-＜0，α=π+arctan（-），
即：
（2）若α=，則B=0，
若α≠，則tanα＜-或tanα＞，
即-＜-（B＞0）或-＞（B＜0），
∴-2＜B＜0或0＜B＜．
綜上，知-2＜B＜．
（3）若B＜-2，則-＜1，
∴0＜tanα＜1，0＜α＜；
若B＞1，則-＞-2，
∴0＞tanα＞-2，π-arctan2＜α＜π．
綜上，知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜．
點(diǎn)評(píng)：反正切函數(shù)的值域?yàn)椋?，），而直線傾斜角的范圍為[0，π），故斜率的值為正、為負(fù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式不一致，一定要分類討論加以區(qū)別．