Question

設直線l的方程是2x+By-1=0，傾斜角為α．
（1）試將α表示為B的函數(shù)；
（2）若

π

6

＜α＜

2π

3

，試求B的取值范圍；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要將α表示為B的函數(shù)，我們可以利用反正切函數(shù)來處理，注意到反正切函數(shù)的值域為（-

π

2

，

π

2

），而直線傾斜角的范圍為[0，π），故我們要將B的值進行分類討論，分別寫出幾中情況下函數(shù)的解析式，最后寫成分段函數(shù)的形式．
（2）由（1）的結論將

π

6

＜α＜

2π

3

代入分段函數(shù)的解析式，易求B的取值范圍
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），我們可以根據直線斜率與直線方程中A，B的關系，分析出斜率的取值范圍，進一步線出α的取值范圍．

解答：解：（1）若B=0，則直線l的方程是2x-1=0，∴α=

π

2

；
若B≠0，則方程即為y=-

2

B

x+

1

B

，
∴當B＜0時，-

2

B

＞0，α=arctan（

-2

B

），
當B＞0時，-

2

B

＜0，α=π+arctan（-

2

B

），
即：α=

arctan(- B 2 )，B＜0 π 2 ，B=0 π-arctan B 2 ，B＞0

（2）若α=

π

2

，則B=0，
若α≠

π

2

，則tanα＜-

3

或tanα＞

3

3

，
即-

2

B

＜-

3

（B＞0）或-

2

B

＞

3

3

（B＜0），
∴-2

3

＜B＜0或0＜B＜

2

3

3

．
綜上，知-2

3

＜B＜

2

3

3

．
（3）若B＜-2，則-

2

B

＜1，
∴0＜tanα＜1，0＜α＜

π

4

；
若B＞1，則-

2

B

＞-2，
∴0＞tanα＞-2，π-arctan2＜α＜π．
綜上，知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜

π

4

．

點評：反正切函數(shù)的值域為（-

π

2

，

π

2

），而直線傾斜角的范圍為[0，π），故斜率的值為正、為負所對應的函數(shù)關系式不一致，一定要分類討論加以區(qū)別．