Question

【題目】橢圓C： 的左右焦點分別是F1 ， F2 ， 離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1 ， PF2 ， 設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1 ， PF2的斜率分別為k1 ， k2 ， 若k≠0，試證明 為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把﹣c代入橢圓方程得 ，解得 ，

∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，∴ ．

又 ，聯(lián)立得 解得 ，

∴橢圓C的方程為

（2）解：如圖所示，設(shè)|PF1|=t，|PF2|=n，

由角平分線的性質(zhì)可得 ，

又t+n=2a=4，消去t得到 ，化為 ，

∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．

∴m的取值范圍；

（3）解：證明：設(shè)P（x0，y0），

不妨設(shè)y0＞0，由橢圓方程 ，

取 ，則 = ，

∴k= = ．

∵ ， ，

∴ = ，

∴ = =﹣8為定值．

【解析】（1）把﹣c代入橢圓方程得 ，解得 ，由已知過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，可得 ．再利用 ，及a2=b2+c2即可得出；（2）設(shè)|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分線的性質(zhì)可得 ，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得到 ，化為 ，再根據(jù)a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；（3）設(shè)P（x0 ， y0），不妨設(shè)y0＞0，由橢圓方程 ，取 ，利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計算公式即可得到k1 ， k2 ， 代入即可證明結(jié)論．