Question

（本題滿分13 分）

    已知橢圓的右焦點(diǎn)F 與拋物線y² = 4x 的焦點(diǎn)重合，短軸長為2．橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于E，過右焦點(diǎn)F 的直線與橢圓相交于A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn)C 在右準(zhǔn)線l 上，BC//x 軸．

   （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出其離心率；

   （2）求證：線段EF被直線AC 平分．

 

Answer 1

【答案】

(1)

        (2) 線段EF被直線AC平分。

【解析】解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……1分

    的焦點(diǎn)為F（1，0）

   

    ……………………3分

    所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

    其離心率為 ……………………5分

   （2）證明：∵橢圓的右準(zhǔn)線1的方程為：x=2，

    ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)EF的中點(diǎn)為M，則

    若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，－y₁），C（2，－y₁）

    ∴AC的中點(diǎn)為

    ∴線段EF的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)重合，

    ∴線段EF被直線AC平分，…………………………6分

    若AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程為

   

    則…………………………7分

    把

得 ………………8分

則有………………9分

∴

……………………10分

∵

∴

∴A、M、C三點(diǎn)共線，即AC過EF的中點(diǎn)M，

∴線段EF被直線AC平分。………………………………13分