精英家教網(wǎng)如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點．
求：（1）
PM
與
FQ
所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離．
分析：（1）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角坐標系，求出
PM
與
FQ
的坐標，再利用向量的夾角公式求出兩向量所成的角；
（2）設n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，根據(jù)條件建立方程組，求出n，設所求距離為d，利用d=|
PE
•n|進行求解即可．
解答：解：建立空間直角坐標系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），則由中點坐標公式得P（
a
2
，0，
a
2
）、
Q（
a
2
，
a
2
，0）．
（1）∴
PM
=（-
a
2
，0，
a
2
），
FQ
=（
a
2
，-
a
2
，-a），
PM
•
FQ

=（-
a
2
）×
a
2
+0+
a
2
×（-a）=-
3
4
a2，且|
PM
|=
2
2
a，|
FQ
|=
6
2
a．
∴cos＜
PM
，
FQ
＞=
PM
•
FQ
|
PM
||
FQ
|
=
-
3
4
a2
2
2
a×
6
2
a
=-
3
2
．
故得兩向量所成的角為150°．
（2）設n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，
∴n⊥
EF
，n⊥
BE
．又
EF
=（-a，a，0），
EB
=（0，a，-a），即有
x2+y2+z2=1
-ax+ay=0
ay-az=0.
得其中的一組解
x=
3
3
y=
3
3
z=
3
3
.
，
∴n=（
3
3
，
3
3
，
3
3
），
PE
=（
a
2
，0，
a
2
）．
設所求距離為d，則d=|
PE
•n|=
3
3
a．
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．
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如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點，求：

（1）異面直線PM與FQ所成的角；

（2）四面體P-EFB的體積；

（3）異面直線PM與FQ的距離．

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（1）異面直線PM與FQ所成的角；

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（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

 

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如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點．
求：（1）與所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離．

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