如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H分別為BP,BE,PC的中點。
(Ⅰ)求證:平面FGH⊥平面AEB;
(Ⅱ)在線段PC上是否存在一點M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出線段PM的長;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)在線段PC上存在一點M,使PB⊥平面EFM,PM=.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求證:平面平面,證明面面垂直,先證線面垂直,即證一個平面過另一個平面的垂線,注意到F,H分別為線段PB,PC的中點,所以FH∥BC,只要CB⊥平面,則FH⊥平面,由已知EA⊥平面ABCD,則EA⊥CB,而四邊形ABCD是正方形,CB⊥AB,從而可得CB⊥平面,即可證出平面平面;(Ⅱ)這是一個探索性命題,一邊假設存在,作為條件,進行推理即可,有已知條件,先判斷EF⊥PB(因為若EF不垂直PB,則點就不存在),若PB⊥平面EFM,只需使PB⊥FM,注意到三角形是一個直角三角形,這樣△PFM∽△PCB,利用線段比例關系,可得PM=,從得結論.
試題解析:(Ⅰ)因為EA⊥平面ABCD,所以EA⊥CB.
又因為CB⊥AB,AB∩AE=A,所以CB⊥平面ABE. 3分
由已知F,H分別為線段PB,PC的中點,所以FH∥BC,則FH⊥平面ABE. 5分
而FH⊂平面FGH,所以平面FGH⊥平面ABE. 6分
(Ⅱ)在線段PC上存在一點M,使PB⊥平面EFM.證明如下:在直角三角形AEB中,因為AE=1,AB=2,所以BE= ,
在直角梯形EADP中,因為AE=1,AD=PD=2,所以PE= ,所以PE=BE.
又因為F為PB的中點,所以EF⊥PB...8分
要使PB⊥平面EFM,只需使PB⊥FM. ..9分
因為PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CB,又因為CB⊥CD,PD∩CD=D,
所以CB⊥平面PCD,而PC⊂平面PCD,所以CB⊥PC.
若PB⊥FM,則△PFM∽△PCB,可得 , 11分
由已知可求得PB=,PF=,PC=,所以PM= ..12分
考點:面面垂直的判定,線面垂直的性質.
科目:高中數學 來源:黃岡中學 高一數學(下冊)、第五章 平面向量單元(5.1~5.5)測試卷 題型:044
如圖所示,已知四邊形OADB是以向量,為邊的平行四邊形,其中,.試以向量a,b為一組基底,表示出向量、、.
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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:044
(1)異面直線PM與FQ所成的角;
(2)四面體P-EFB的體積;
(3)異面直線PM與FQ的距離.
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