【題目】直角三角形中,的中點(diǎn),是線段上一個動點(diǎn),且,如圖所示,沿翻折至,使得平面平面

(1)當(dāng)時(shí),證明:平面

(2)是否存在,使得與平面所成的角的正弦值是?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)答案見解析.

【解析】試題分析:

(1)由題意可得,取的中點(diǎn),連接,當(dāng)時(shí),由幾何關(guān)系可證得平面.則.利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合直線的方向向量與平面的法向量計(jì)算可得存在,使得與平面所成的角的正弦值為.

試題解析:

(1)在中,,即,

,

的中點(diǎn),連接

當(dāng)時(shí),的中點(diǎn),而的中點(diǎn),

的中位線,∴.

中,的中點(diǎn),

的中點(diǎn).

中,,

,則.

又平面平面,平面平面

平面.

平面,∴.

,∴平面.

(2)以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

,,,

由(1)知中點(diǎn),,而平面平面.

平面,

.

假設(shè)存在滿足題意的,則由.

可得,

.

設(shè)平面的一個法向量為,

,可得,即.

與平面所成的角的正弦值

.

解得舍去).

綜上,存在,使得與平面所成的角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,直角梯形中, ,等腰梯形中, ,且平面平面

(1)求證: 平面

(2)若與平面所成角為,求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù) .

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

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【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況,并將所得數(shù)據(jù)按照,,分成組,繪制成頻率分布直方圖(如圖).

(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù);

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機(jī)抽取人,再從這人中任選人,設(shè)這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓)的左焦點(diǎn)為,離心率為,過點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、

①求證:

②求面積的最大值.

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【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,樣本中所有人每天用于閱讀的時(shí)間(簡稱閱讀用時(shí))都不超過3小時(shí),其頻數(shù)分布表如下:(用時(shí)單位:小時(shí))

用時(shí)分組

頻數(shù)

10

20

50

60

40

20

(1)用樣本估計(jì)總體,求該市市民每天閱讀用時(shí)的平均值;

(2)為引導(dǎo)市民積極參與閱讀,有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗(yàn)交流會,從這200人中篩選出男女代表各3名,其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會,求參加交流會的4名代表中,喜歡古典文學(xué)的男代表多于喜歡古典文學(xué)的女代表的概率.

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【題目】近年來隨著素質(zhì)教育的不斷推進(jìn),高考改革趨勢明顯.國家教育部先后出臺了有關(guān)高考的《學(xué)業(yè)水平考試》、《綜合素質(zhì)評價(jià)》、《加分項(xiàng)目瘦身與自主招生》三個重磅文件,引起社會極大關(guān)注,有人說:男孩苦,女孩樂!為了了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師,家長在內(nèi)的社會人士對高考改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了人,,就是否“贊同改革”進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如下表:

贊同

不贊同

無所謂

在校學(xué)生

社會人士

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取人,抽到持“不贊同”態(tài)度的人的概率為.

(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進(jìn)行問卷訪談,文應(yīng)該在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?

(2)在持“不贊同”態(tài)度的人中,用分層抽樣方法抽取人,若從人中任抽人進(jìn)一步深入調(diào)查,為更多了解學(xué)生的意愿,要求在校學(xué)生人數(shù)不少于社會人士人士,求恰好抽到兩名在校學(xué)生的概率.

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【題目】四棱臺被過點(diǎn)的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體,其下底面四邊形是邊長為2的菱形,,平面,.

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)若與底面所成角的正切值為2,求二面角的余弦值.

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【題目】2018湖南(長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué))、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考已知函數(shù)(其中為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), ).

)若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

)當(dāng)時(shí),若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.

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