【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、．

①求證：；

②求面積的最大值．

【答案】(1) (2) ①見解析②面積的最大值是

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得，，又，即可得方程；

（2）①當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，直線方程為，代入橢圓方程，整理得，由，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解；

②由結(jié)合韋達(dá)定理得，利用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（1）由題意可得，

令，可得，即有，

又，所以，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

則，所以．

，

則

．

則，即；

②

當(dāng)且僅當(dāng)，即．（此時(shí)適合的條件）取得等號．

則面積的最大值是．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機(jī)”弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在到之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第1組或第4組的概率；

（2）已知第5，6兩組市民中有3名女性，組織方要從第5，6兩組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣傳隊(duì)，求至少有1名女性市民的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率，拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線為，且.

(1)求直線的方程；

(2)若與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，求的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)離地面4米，最低點(diǎn)離地面2米，觀察者從距離墻米，離地面高米的處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角

（1）若問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大？

（2）若當(dāng)變化時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直角三角形中，是的中點(diǎn)，是線段上一個(gè)動點(diǎn)，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）若動點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使得，再過作直線，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于直線，求的值；

（2）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)在上的最小值為，求的值.

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同步練習(xí)冊答案