【題目】證明與分析
(1)已知a,b為正實數(shù).求證: + ≥a+b;
(2)某題字跡有污損,內容是“已知|x|≤1, ,用分析法證明|x+y|≤|1+xy|”.試分析污損部分的文字內容是什么?并說明理由.

【答案】
(1)證明:∵a>0,b>0,

∴(a+b)( )=a2+b2+ ≥a2+b2+2ab=(a+b)2

≥a+b,當且僅當a=b時等號成立.


(2)解:污損部分的文字內容為“|y|≤1”.理由如下:

要證:|x+y|≤|1+xy|,只需證:(x+y)2≤(1+xy)2,即證:x2+y2≤1+x2y2,

只需證:(x2﹣1)(1﹣y2)≤0,

∵|x|≤1,故只需證:1﹣y2≥0即可.

∴估計污損部分的文字內容為“|y|≤1”.


【解析】(1)不等式兩邊同乘(a+b),使用基本不等式即可得出結論;(2)將結論兩邊平方即可得出(x2﹣1)(1﹣y2)≤0,故只需1﹣y2≥0即可.
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點,需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構造法,函數(shù)單調性法,數(shù)學歸納法等才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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(2)求f(x)在[﹣1,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值.

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