Question

【題目】已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若 為 的極值點(diǎn)，求 的值；
（Ⅱ）若 在 單調(diào)遞增，求 的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，方程 有實(shí)數(shù)根，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，求導(dǎo)， ，
由 為 的極值點(diǎn)，則 ，即 ，解得： ，
當(dāng) 時(shí)， ，
從而 為函數(shù)的極值點(diǎn)，成立，
∴ 的值為0；
（Ⅱ） 在 單調(diào)遞增，則 ，
則 在區(qū)間 上恒成立，
①當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上恒成立，
∴ 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，故 符合題意；
②當(dāng) 時(shí)，由 的定義域可知： ，
若 ，則不滿足條件 在區(qū)間 上恒成立，
則 ，
則 ，對(duì)區(qū)間 上恒成立，
令 ，其對(duì)稱軸為 ，
由 ，則 ，
從而 在區(qū)間 上恒成立，
只需要 即可，
由 ，解得： ，
由 ，則 ，
綜上所述， 的取值范圍為 ；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，方程 ，轉(zhuǎn)化成 ，
即 ，令 ，則 在 上有解，
令 ， ，求導(dǎo) ，
當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上單調(diào)遞減；
在 上的最大值為 ，此時(shí) ， ，
當(dāng) 時(shí)，方程 有實(shí)數(shù)根，則 的最大值為0．
【解析】(1)根據(jù)題意首先求導(dǎo)代入數(shù)值求出 f ′ ( 2 ) = 0進(jìn)而求出a的值。(2)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)令其大于等于零恒成立，分類討論當(dāng) a = 0 時(shí)恒成立，當(dāng) a ≠ 0 時(shí)由函數(shù)的定義域可知a>0,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知g ( 3 ) ≥ 0 恒成立即可求得a的取值范圍。(3)根據(jù)題意由整體思想轉(zhuǎn)化原有的代數(shù)式并對(duì)其求導(dǎo)，對(duì)t分情況討論，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究原函數(shù)的單調(diào)性以及最大值的關(guān)系即可求出b的最大值。